헤르만 바일

3. 업적

헤르만 바일은 수학과 이론물리학의 여러 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다.

• 1913년 《리만 곡면의 개념》(Die Idee der Riemannschen Fläche^de)에서 리만 곡면을 점 집합 위상으로 정교하게 정의하고, 위상 수학을 도입하여 이론을 확고히 했다. 이는 다양체 개념 정의에 큰 영향을 미쳤다.
• 1918년 《공간, 시간, 물질》(Raum, Zeit, Materie)에서 게이지 개념을 도입하여 게이지 이론의 기초를 마련했다.
• 1923년~1938년 콤팩트 위상군 이론, 특히 행렬 표현론 연구를 발전시켰고, 콤팩트 리 군에 대해 페터-바일 정리와 바일 지표 공식을 증명하여 양자역학의 대칭성 이해에 기여했다.
• 1929년 바일 방정식을 제안하여 질량이 없는 페르미온을 기술했다. 중성미자는 한때 바일 페르미온으로 여겨졌으나, 현재는 질량이 있는 것으로 알려졌다. 2015년 바일 준금속에서 바일 페르미온과 유사한 준입자가 발견되었다.^[32][33][34]
• 지수 합을 디오판토스 근사에 활용하고 균일 분포 판정법을 제시하여 해석적 정수론 발전에 공헌했다.
• 《연속체》(Das Kontinuum)에서 베르트랑 러셀의 분기 유형 이론을 바탕으로 예측적 해석의 논리를 전개했다.

3. 1. 리만 곡면과 다양체론

3. 2. 게이지 이론

3. 3. 군 표현론과 양자역학

4. 사상과 철학

Hermann Weyl^de은 에드문트 후설의 현상학에 영향을 받아 수학적, 물리적 구조의 의미를 탐구하고, 이를 자신의 연구에 반영했다.^[12] 그는 임마누엘 칸트의 철학, 특히 순수이성비판의 영향을 받아 공간과 시간을 선험적 지식 개념으로 받아들였다.

바일은 초기에는 L. E. J. 브라우어의 직관주의를 지지했다. 그는 연속체에서 베르트랑 러셀의 분기 유형 이론의 하위 수준을 사용하여 예측적 해석의 논리를 전개했고, 선택 공리나 귀류법을 사용하지 않고 게오르크 칸토어의 무한 집합을 피하면서 고전 미적분학의 대부분을 전개할 수 있었다.^[30] 그는 이 시기에 독일 낭만주의자이자 주관적 관념론자인 요한 고틀리프 피히테의 급진적인 구성주의에 호소하기도 했다.

''연속체''를 출판한 직후 바일은 자신의 입장을 브라우어의 직관주의로 잠시 완전히 바꿨다. ''연속체''에서 구성 가능한 점들은 이산적인 실체로 존재한다고 보았으며, 점들의 집합이 아닌 연속체를 원했다. 그는 자신과 브라우어를 위해 "혁명"을 선포하는 논란이 많은 기사를 썼는데,^[30] 이 기사는 브라우어 자신의 원저보다 직관주의적 견해를 전파하는 데 훨씬 더 큰 영향을 미쳤다.

조르주 폴리아와 바일은 1918년 2월 9일 취리히에서 열린 수학자 모임에서 수학의 미래 방향에 대한 내기를 했다.^[31] 바일은 그 후 20년 동안 수학자들이 실수, 집합, 가산성과 같은 개념의 완전한 모호성을 깨닫게 될 것이며, 실수의 최소 상한 속성의 참 또는 거짓을 묻는 것이 게오르크 빌헬름 프리드리히 헤겔의 자연철학에 대한 기본적 주장의 진실을 묻는 것만큼 의미 있다고 예측했다. 이러한 질문에 대한 어떤 답변도 검증할 수 없고, 경험과 관련이 없으며, 따라서 무의미하다고 보았다.

그러나 몇 년 안에 바일은 브라우어의 직관주의가 수학에 너무 큰 제약을 가한다고 결정했다. 1920년대 후반, 바일은 자신의 입장을 다비트 힐베르트의 입장과 부분적으로 조정했다.

1928년경 바일은 수학적 직관주의가 후설의 현상학적 철학에 대한 자신의 열정과 양립할 수 없다고 결정한 것 같다. 그는 생애의 마지막 수십 년 동안 수학을 "상징적 구성"으로 강조하고 힐베르트뿐만 아니라 에른스트 카시러의 입장에 더 가까운 입장으로 이동했다. 그러나 바일은 카시러를 거의 언급하지 않았고, 이러한 입장을 명확히 하는 간략한 기사와 구절만을 썼다.

1949년까지 바일은 직관주의의 궁극적인 가치에 대해 철저히 환멸을 느꼈다. 그는 브라우어와 함께하는 수학은 가장 높은 직관적 명료성을 얻지만, 더 높고 더 일반적인 이론으로 나아감에 따라 고전 논리의 단순한 법칙의 적용 불가능성은 결국 거의 감당할 수 없는 어색함을 초래한다고 언급했다.

5. 저서

• Die Idee der Riemannschen Fläche|리만 곡면의 개념^de (1913)^[38], 영역본: The Concept of a Riemann Surface|리만 곡면의 개념^영어 (1955)
• Das Kontinuum|연속체^de (1918), 영역본: The Continuum : A Critical Examination of the Foundation of Analysis|연속체: 해석 기초에 대한 비판적 검토^영어 (1987)
• Raum, Zeit, Materie|공간, 시간, 물질^de (1918)
• Gruppentheorie und Quantenmechanik|군론과 양자역학^de (1928), 영역본: The Theory of Groups and Quantum Mechanics|군론과 양자역학 이론^영어 (1931)
• The Classical Groups|고전군^영어 (1939)^[39]
• Symmetry|대칭^영어 (1952)

6. 평가 및 영향

헤르만 바일은 20세기 수학과 이론물리학에 지대한 영향을 미친 학자로 평가받는다. 그의 연구는 현대 수학과 물리학의 여러 분야에서 핵심적인 개념과 방법론의 토대를 제공했다. 특히, 다양체, 위상군, 게이지 이론, 군 표현론 등은 현대 수학과 물리학의 필수적인 요소가 되었다.^{[20][21][22][23][24][25]}

참조

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_[8] 논문 Die Abiturarbeit Hermann Weyls
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_[10] 웹사이트 Universität Zũrich Matrikeledition http://www.matrikel.[...]
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_[12] 웹사이트 In Memoriam Helene Weyl http://digital.cjh.o[...] 2020-02-05
_[13] 웹사이트 Michael Weyl, Foreign Service officer https://www.washingt[...]
_[14] 서적 In Memoriam Helene Weyl http://d-nb.info/993[...] 1948
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_[16] 웹사이트 Ellen Lohnstein and Richard Josef Bär were married on September 14, 1922 in Zürich, Switzerland. http://www.tribalpag[...] 2015-12-18
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_[35] 서적 Sieroka, Umgebungen. Symbolischer Konstruktivismus im Anschluss an Hermann Weyl und Fritz Medicus. https://www.chronos-[...] Chronos, Zürich
_[36] 간행물 Rezension von Sierokas Buch ''Umgebungen'' von Thomas Ryckman
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_[38] 논문 Review: ''Die Idee der Riemannschen Fläche'' by Hermann Weyl https://www.ams.org/[...]
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